Balajar Matematika Diskrit Live #2

Predikat dan kuantor

predikat atau koantor ini sebenarnya adalah semacam alat fundamental yang menyatakan suatu pernyataan atomik atau pernyataan logika yang lebih kompleks lagi dari sekedar seperti true atau false, jadi dia nanti memberikan suatu pernyataan logika yang lebih komleks. Bukan hanya sekedar atomic (true dan false). Jadi si predikat dan kuantor memungkinkan seperti object dalam suatu domain tertentu yang nantinya kita membuat suatu pernyataan umum atau spesifik tentang suatu object tadi.

Predikat (Predicate)

jadi predikat ini adalah suatu pernyataan yang mengandung variable dan nilai dari kebenara nya atau nilai atomic nya dan pernyataan ini bergantung pada nilai variable tersebut.

secara formal simbol predikat: P(x)

contoh:

P(x) = x adalah bilangan genap, P(2) = true, P(3) = false

contoh pedikat dengan lebih dari satu variable:

Q(x,y) = "x > y", Q(5,3) = true, Q(2,4) = false

Kuantor (quantifier)

Kuantor adalah sebuah pernyataan yang digunkan untuk membuat suatu pernyataan tentang berapa banyak element (∈) dalam suatu domain yang memenuhi suatu predikat

2 kuantor utama yang perlu diketahui pertama universal quantifier (universal kuantor) dan extensial quantifier (ada setidaknya suatu predikat)

Universal kuantor atau "for all" simbolnya ∀.
Contoh ∀xP(x)
bacanya: untuk semua dari nilai x bahwasanya P(x) benar

Contoh: ∀x∈ Z, x + 1 > x = true

Bacanya: untuk semua nilai x dari si elemant Z, x ditambah 1 lebih dari x adalah benar (true)

∀1∈ Z, x + 1 > x

x + 1 = 1 + 1 = 2 > 1

Extensial kuantor simbolnya ∃ (E kebalik)
dibaca terdapat atau ada, menyatakan ada setidaknya satu element dalam suatu predikat yang memenuhi suatu kondisi tertentu

∃xP(x)
bacanya: ada setidaknya satu dari nilai x sehingga P(x) benar (true)

∃x∈ ,x² = 4

jika nilai x = 2 atau x = -2 maka true

Penggabungan dari predikat dan kuantor

P(x) = x adalah bilangan prima
Domain: bilangan bulat positif
Salah: ∀xP(x)
Semua bilangan bulat positif adalah bilangan prima ini pernyataan yang salah
Benar: ∃xP(x)
Setidaknya ada bilangan positif adalah bilangan prima ini penyataan yang benar

Contoh soal:

1. misalnya domain untuk semua variable adalah himpunan bilangan bulat dari si z
predikat: P(x) = x² >= 0
tentuin nilai kebenaraanya dari pernyataan
∀xP(x)

∀xP(x), x2 >= 0
Pernyataan 1. x > 0, misal x = 1, x2 > 0 adalah benar
Pernyataan 2. x < 0, misal x = -1, x2 > 0 adalah benar (negatif kali negarif = positif)
Pernyataan 3. x = 0, x2 = 0 adalah benar
jadi ∀xP(x), x2 >= 0 adalah benar (true)

2. misal domain si z ini adalah himpunan bilangan bulat
Predikat: Q(x) = x² = 2
tentuin nilai kebenaraanya dari
∃xQ(x)

∃xQ(x), x2 = 2
Pernyataan 1. x = 1, 12 = 2 adalah salah
Pernyataan 2. x = 2, 22 = 2 adalah salah
Pernyataan 3. x = -1, -12 = 2 adalah salah
tidak ada bilangan bulat yang kuadratnya tepat dengan 2
solusi x2 = 2 adalah x = √2 atau x = √-2 dan keduanya akan menghasilkan bukan bilangan bulat,
jadi ∃xQ(x), x2 = 2 adalah penrnyataan yang salah (false)