Belajar Matematika Diskrit Live #14
Disrtibusi Fungsi
Distribusi fungsi (lebih tepatnya distribusi probabilitas diskrit) adalah fungsi yang menggambarkan probabilitas kemunculan setiap nilai yang mungkin dari variabel acak diskrit
PMF (Probability Mass Function)
adalah Fungsi \(f(x)\) yang memberikan probabilitas langsung untuk setiap nilai yang mungkin
Fungsi Probabilitas: Menentukan peluang (\(P(X=x)\)) untuk setiap nilai \(x\) yang mungkin.
Sifat Penting:\(P(X=x)\ge 0\) untuk semua \(x\).
\(\sum P(X=x)=1\)
(Jumlah semua probabilitas adalah 1).
Contoh:Lemparan Dadu: Nilai {1, 2, 3, 4, 5, 6}, masing-masing dengan peluang
\(1/6\).
Lemparan Koin: Nilai {Kepala, Ekor}, masing-masing dengan peluang \(1/2\)
CDF (Cumulative Distribution Function)
Fungsi \(F(x)\) yang menyatakan total akumulasi peluang untuk semua nilai variabel yang kurang dari atau sama dengan \(x\) (\(P(X\le x)\))
Sifat Utama CDF:
- Nilainya selalu meningkat (monoton tidak turun).
- Nilai minimumnya adalah \(0\) (untuk \(x\) yang sangat kecil) dan maksimumnya adalah \(1\) (setelah mencakup semua kemungkinan hasil).
- Pada grafik, CDF diskrit akan tampak seperti fungsi tangga (step function) karena nilainya hanya melonjak pada titik-titik tertentu
Contoh klasik untuk memahami CDF adalah percobaan melempar satu dadu sisi enam yang adil.
1. Fungsi Massa Probabilitas (PMF)
Setiap angka (1 sampai 6) memiliki peluang yang sama:
P(X = 1) = 1/6P(X = 2) = 1/6- ... hingga
P(X = 6) = 1/6
2. Tabel Perhitungan CDF
CDF F(x) dihitung dengan menjumlahkan probabilitas secara
akumulatif (P(X ≤ x)):
| Nilai x | Perhitungan F(x) = P(X ≤ x) | Hasil F(x) |
|---|---|---|
| x < 1 | P(X < 1) | 0 |
| 1 ≤ x < 2 | P(1) | 1/6 |
| 2 ≤ x < 3 | P(1) + P(2) | 2/6 (1/3) |
| 3 ≤ x < 4 | P(1) + P(2) + P(3) | 3/6 (1/2) |
| 4 ≤ x < 5 | P(1) + P(2) + P(3) + P(4) | 4/6 (2/3) |
| 5 ≤ x < 6 | P(1) + ... + P(5) | 5/6 |
| x ≥ 6 | P(1) + ... + P(6) | 6/6 (1) |
Interpretasi: Jika Anda ingin tahu peluang muncul angka
maksimal 4, cukup lihat F(4) = 2/3 atau sekitar
0,67.
Distribusi-distribusi diskrit
Distribusi-distribusi diskrit adalah fungsi matematika yang memodelkan peluang terjadinya berbagai hasil pada variabel acak diskrit, yaitu variabel yang nilainya berupa bilangan bulat dan dapat dihitung (seperti jumlah orang, jumlah lemparan koin, atau jumlah barang rusak).
1. Distribusi Bernoulli
Jenis yang paling dasar, digunakan untuk percobaan yang hanya memiliki dua kemungkinan hasil: sukses atau gagal (misalnya, satu kali lemparan koin)
2. Distribusi Binomial
Pengembangan dari Bernoulli, distribusi ini memodelkan jumlah sukses dalam \(n\) kali percobaan independen yang diulang (misalnya, peluang mendapatkan 3 angka "Gambar" dari 10 kali lemparan koin).
3. Distribusi Geometrik
Memodelkan jumlah percobaan yang diperlukan sampai terjadinya sukses pertama kali (misalnya, berapa kali harus melempar dadu sampai muncul angka 6 untuk pertama kalinya).
4. Distribusi Poisson
Digunakan untuk menghitung jumlah kejadian yang terjadi dalam interval waktu atau ruang tertentu dengan laju rata-rata (\(\lambda \)) yang konstan. Contohnya: jumlah panggilan telepon yang masuk ke pusat layanan dalam satu jam.